FINCAD BLOG　October 13, 2016

今回のブログでは金利が低い場合あるいはマイナスの場合に、キャップ及びスワップ・オプションなどヨーロピアン金利オプションの価格計算に使えるモデルを議論します。
 

互いに関連した４つのモデルを使って、キャップ及びスワップ・オプションなどヨーロピアン金利オプションの価格を計算できます。一番よく使われるのがブラックモデルです。ブラックモデルではフォワード・レート[1]は次の過程を辿ります。 ただし、dzとdwは両方ともウィーナー過程です。このモデルでは、νはボラティリティのボラティリティとなり、フォワード・レートの変化とフォワード・レートのボラティリティの変化との相関はρとなり、またα=σ(0)が初期ボラティリティとなります。これには多数のボラティリティ・パラメータ（α、β、 ν および ρ）が存在するため、SABRモデルは一般的に特定の満期を持ったすべてのオプションに適しています。　また、これはスマイル曲線にもほぼ当てはまります。しかし、異なるオプション満期に対してはボラティリティ・パラメータが異なってきます。特定の満期のすべてのオプションに適合するようボラティリティ・パラメータを選ぶ際には、β と ρは同じような効果を与えます。その結果として、ユーザーは多くの場合、βに 0.5 などの値を選び、その他の3つのパラメータのため、観察された価格に最もよく当てはまるような値を見つけます。SABRモデルの場合には、ブラックモデルのボラティリティが概算できるような簡単な計算式が存在します。[3] 　これで算出されたボラティリティを今度はブラックモデルで使用して、オプション価格を計算します。

これらモデルは互いに密接に関連しており、ブラックモデルは CEV モデルで β を 1 に設定した特殊ケースです。また、バシュリエモデルも CEV モデルで β を 0 に設定した特殊ケースであり、SABR モデルも確率的ボラティリティでオーバレイされたCEV モデルと同じものになります。これら各モデルでは、ボラティリティ・パラメータの意味するところが異なります。ブラックモデルでは、 σ はフォワード・レートのスライドの標準偏差です。この場合、σ の標準値は金利水準に応じて 10％ からほぼ 100％ の間に収まります。バシュリエモデルでは、σ はフォワード・レートの変化の標準偏差となります。この場合 σ の標準値は 0.2％ からほぼ 2％ の間に収まります。CEV モデルと SABR モデルでは、ボラティリティ・パラメータの大きさは β の値に依存し、β の値が高いほど σ の値が高くなります。
長年にわたり、キャップ及びスワップ・オプションの価格設定モデルは、ブラックモデルでした。このモデルがあらゆるところで使用されていたため、ブローカーは顧客がオプションの正確な価格を決定する際には、ブラックモデルを基準にするだろうと推測し、キャップ及びスワップ・オプションの価格提示には比較的最近まで、ブラック・ボラティリティを公表していました。

金利が非常に低くなり、あるいは負の値になってしまった現状では、マイナス金利を許容しないブラックモデルを使用することはもはや合理的でもないし、あるいは可能であるとはいえないかもしれません。4つのモデルのうち、バシュリエモデルのみがマイナス金利を許容します。他の3つのケースでは、金利がマイナスになりえますが、その場合はフォワード・レートにシフトsを加算してモデルを修正する必要があります。たとえば、ブラックモデルのシフトされたまたは変位されたバージョンは以下の式で表されます。
この場合、F + sは対数正規分布から導出された、またはFは下限の金利がゼロではなく-sである場合の変位した対数正規分布から導出されたと言われます。変位を表すsは、現在の期間構造が暗示している最低のフォワード・レートに対してF + sが正となるように十分に大きくとる必要があります。CEVモデルおよびSABRモデルにも同様の変更を加える必要があります。オプションの価格決定式では、FはF + sで、またKはK +で置き換えなければなりません。SABRモデルの場合、計算されるブラックモデル・ボラティリティは、同一の変位sを有する変位した対数正規モデルに適用されるボラティリティとなります。

この場合ブローカーは、次の2つのアプローチのいずれかを採用します。一つはブラックモデルからバシュリエモデルに切り替えて、バシュリエ・ボラティリティ・パラメータまたは正規ボラティリティ・パラメータを公開できます。これらは通常、ベーシス・ポイント単位で表されます。もう一方のアプローチでは、変位された対数正規モデルを使用して、変位の大きさと対応するブラック・ボラティリティをパーセント単位で公表することができます。以下の表は、様々な満期および行使レートの、ユーロ建てキャップに対する バシュリエモデルに基づくブローカー相場を示しています。 ユーロの期間構造は、約8年のポイントまでがマイナスです。

図1：キャップに関するブローカー提示の正規ボラティリティ・パラメータ（ベーシス・ポイント）、下部パネルにはアット・ザ・マネー（ATM）キャップレートを示した。